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FDTD和MODE中的PML边界

发布日期:
2022-09-02

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PML是一种吸收边界条件,旨在以尽可能小的反射率实现入射光的吸收。具体而言,这种边界通常用在仿真区边缘,能与周围材料阻抗匹配,极大限度地减少反射,同时完全吸收仿真区内的光场。理想状况下,PML边界产生零反射,但是实际上由于基础PML方程的离散性,总会存在一定程度的反射,同时,用有限差分算法中对于PML方程的离散近似,也会带来一定程度的数值不稳定性。


本文介绍Ansys Lumerical FDTD和MODE中的PML边界条件,并概述如何设置PML能够在保证极小化反射误差、消除数值不稳定性的同时,避免过多的仿真时间增加和资源消耗。


FDTD和MODE中的PML边界

图一 PML属性设置


如图一所示是FDTD和varFDTD仿真区属性中,Boundary conditions的选项卡,对于FDTD、MODE solutions仿真软件中边界条件的设定均可在此实现,本文聚焦于其中的PML边界条件。对于FDE等求解器PML边界条件的设置也可类比参照本文内容。



1.PML类型:

拉伸坐标 PML(stretched coordinate PML):

基于Gedney和Zhao在[2]中提出的公式,是软件推荐的默认选项。

传统的单轴各向异性PML(uniaxial anisotropic PML legacy):

也在软件中提供,该方法在实践中应用很少。


2.PML配置:

在FDTD或varFDTD仿真区域中,用户可以设置PML边界吸收特性的所有参数(图一右侧)。软件也直接给出了设置好参数的配置组合,在大多数模拟场景下,用户只需在四种预定义的配置(标准、稳定、陡角和自定义)中选择一个,并微调层数即可。整体而言,增加PML层数会降低反射,减小PML层数则会增加反射,具体每个配置文件在设计时考虑了特定的应用场景,会在仿真中具有不同的数值表现:


标准(standard):

标准配置文件旨在以相对较少的层数提供良好的整体吸收。PML层数的增加会显著增加仿真时间,因此建议在使用其他配置前,首先尝试此标准配置,如果仿真中不包含PML区域内的材料变化边界,则该标准配置极大概率是仿真的理想选择。即,如果被仿真结构能够完全延伸通过PML区域,标准配置的边界条件即可达到理想性能,但当材料变化界面穿过PML区域时,可能需要使用稳定配置。


稳定(stabilized):

当材料边界穿过PML区域时,可能会出现数值不稳定性,通常表现为PML区域内靠近材料界面处的场振幅出现局部指数增长。通常,大多数数值不稳定问题都可以使用该稳定配置解决,但是,稳定配置要达到与标准配置相同的吸收性能,需要更多层PML,可以说稳定配置是以增加PML层数为代价,提供更高的数值稳定性。


陡角(step angle):

陡角配置与标准配置类似,适用于PML边界与周期性边界条件相结合的情况。这种配置针对的是光以几乎平行于PML边界的方向传播的情况,能提供更强的吸收性能。在非常粗略离散化(每个波长少于十个点)的情况下,该配置的吸收特性通常低于标准配置。


自定义(custom):

标准、稳定和陡角配置都是参数固定的PML配置,自定义配置则允许用户自定义所有PML参数值,该配置的初始值被设为与标准配置相同,如图二所示。


FDTD和MODE中的PML边界

图二 自定义PML配置


FDTD和MODE中的PML边界

图三 为不同方向设置不同PML边界条件


3.为所有方向的边界设置相同的PML参数

如图二红圈所示,用户可以选择是否对不同的边界使用不同的PML设置。取消此选项可以对笛卡尔坐标系所有方向上的边界进行PML设置,刚提到的四种配置均可选择。为不同的边界使用不同的PML设置可以更好地分配资源,显著减少仿真时间。图二中显示了3D模拟的PML设置表,其中仅需要在x min边界上使用稳定配置的PML,其余边界使用陡角配置的PML。


4.FDE与求解器中的PML设置

在FDE模拟求解器中,对于PML的设置与FDTD和varFDTD略有不同,用户可以在“高级选项”中指定控制PML边界吸收特性的参数,如图三所示。FDE求解器直接采用了拉伸坐标PML(stretched coordinate PML)公式,且没有预定义的配置,如果需要根据实际情况修改,则用户要直接对参数进行设置。


5.PML具体参数

PML边界具有有限的厚度,它们占据了仿真区域周围的有限体积,正是在这个空间内边界条件完成了对光的吸收。

  • layers:由于离散化的需求,PML区域被划分为多个层;

  • kappa, sigma, alpha:PML区域具体的吸收特性由这三个参数控制,具体定义在文献[2]中。根据定义kappa是无单位的,sigma和alpha则需以归一化的无单位值的形式,输入到PML参数设置表中。kappa、sigma和alpha都使用多项式函数在PML区域内进行分级,参数alpha有时被描述为复频移(complex frequency shift, CFS),它的主要作用是提高数值稳定性。增大alpha/sigma会使PML边界更稳定,但会降低其吸收效率,这就是稳定配置需要更多PML层数才能达到相同吸收性能的原因。要将alpha和sigma转换成SI单位的值,需要乘以自由空间介电常数的两倍,再除以仿真的时间步长;

  • polynomial:用来指定kappa和sigma多项式的阶数;

  • alpha polynomial:用来指定alpha多项式的阶数;

  • min layers, max layers:限制PML层的数量范围。


参考文献

[1] J. P. Berenger, Perfectly Matched Layer (PML) for Computational Electromagnetics. Morgan & Claypool Publishers, 2007.

[2] S. D. Gedney and B. Zhao, An Auxiliary Differential Equation Formulation for the Complex-Frequency Shifted PML, IEEE Trans. on Antennas & Propagat., vol. 58, no. 3, 2010.



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