PML是一种吸收边界条件，旨在以尽可能小的反射率实现入射光的吸收。具体而言，这种边界通常用在仿真区边缘，能与周围材料阻抗匹配，最大限度地减少反射，同时完全吸收仿真区内的光场。理想状况下，PML边界产生零反射，但是实际上由于基础PML方程的离散性，总会存在一定程度的反射，同时，用有限差分算法中对于PML方程的离散近似，也会带来一定程度的数值不稳定性。
本文介绍Ansys Lumerical FDTD和MODE中的PML边界条件，并概述如何设置PML能够在保证最小化反射误差、消除数值不稳定性的同时，避免过多的仿真时间增加和资源消耗。
图一 PML属性设置
如图一所示是FDTD和varFDTD仿真区属性中，Boundary conditions的选项卡，对于FDTD、MODE solutions仿真软件中边界条件的设定均可在此实现，本文聚焦于其中的PML边界条件。对于FDE等求解器PML边界条件的设置也可类比参照本文内容。
基于Gedney和Zhao在[2]中提出的公式，是软件推荐的默认选项。
- 传统的单轴各向异性PML（uniaxial anisotropic PML legacy）：
在FDTD或varFDTD仿真区域中，用户可以设置PML边界吸收特性的所有参数（图一右侧）。软件也直接给出了设置好参数的配置组合，在大多数模拟场景下，用户只需在四种预定义的配置（标准、稳定、陡角和自定义）中选择一个，并微调层数即可。整体而言，增加PML层数会降低反射，减小PML层数则会增加反射，具体每个配置文件在设计时考虑了特定的应用场景，会在仿真中具有不同的数值表现：
标准配置文件旨在以相对较少的层数提供良好的整体吸收。PML层数的增加会显著增加仿真时间，因此建议在使用其他配置前，首先尝试此标准配置，如果仿真中不包含PML区域内的材料变化边界，则该标准配置极大概率是仿真的最佳选择。即，如果被仿真结构能够完全延伸通过PML区域，标准配置的边界条件即可达到最佳性能，但当材料变化界面穿过PML区域时，可能需要使用稳定配置。
当材料边界穿过PML区域时，可能会出现数值不稳定性，通常表现为PML区域内靠近材料界面处的场振幅出现局部指数增长。通常，大多数数值不稳定问题都可以使用该稳定配置解决，但是，稳定配置要达到与标准配置相同的吸收性能，需要更多层PML，可以说稳定配置是以增加PML层数为代价，提供更高的数值稳定性。
陡角配置与标准配置类似，适用于PML边界与周期性边界条件相结合的情况。这种配置针对的是光以几乎平行于PML边界的方向传播的情况，能提供更强的吸收性能。在非常粗略离散化（每个波长少于十个点）的情况下，该配置的吸收特性通常低于标准配置。
标准、稳定和陡角配置都是参数固定的PML配置，自定义配置则允许用户自定义所有PML参数值，该配置的初始值被设为与标准配置相同，如图二所示。
图二 自定义PML配置
图三 为不同方向设置不同PML边界条件
如图二红圈所示，用户可以选择是否对不同的边界使用不同的PML设置。取消此选项可以对笛卡尔坐标系所有方向上的边界进行PML设置，刚提到的四种配置均可选择。为不同的边界使用不同的PML设置可以更好地分配资源，显著减少仿真时间。图二中显示了3D模拟的PML设置表，其中仅需要在x min边界上使用稳定配置的PML，其余边界使用陡角配置的PML。
在FDE模拟求解器中，对于PML的设置与FDTD和varFDTD略有不同，用户可以在“高级选项”中指定控制PML边界吸收特性的参数，如图三所示。FDE求解器直接采用了拉伸坐标PML（stretched coordinate PML）公式，且没有预定义的配置，如果需要根据实际情况修改，则用户要直接对参数进行设置。
PML边界具有有限的厚度，它们占据了仿真区域周围的有限体积，正是在这个空间内边界条件完成了对光的吸收。
layers：由于离散化的需求，PML区域被划分为多个层；
kappa, sigma, alpha：PML区域具体的吸收特性由这三个参数控制，具体定义在文献[2]中。根据定义kappa是无单位的，sigma和alpha则需以归一化的无单位值的形式，输入到PML参数设置表中。kappa、sigma和alpha都使用多项式函数在PML区域内进行分级，参数alpha有时被描述为复频移（complex frequency shift, CFS），它的主要作用是提高数值稳定性。增大alpha/sigma会使PML边界更稳定，但会降低其吸收效率，这就是稳定配置需要更多PML层数才能达到相同吸收性能的原因。要将alpha和sigma转换成SI单位的值，需要乘以自由空间介电常数的两倍，再除以仿真的时间步长；
polynomial：用来指定kappa和sigma多项式的阶数；
alpha polynomial：用来指定alpha多项式的阶数；
min layers, max layers：限制PML层的数量范围。
参考文献
[1] J. P. Berenger, Perfectly Matched Layer (PML) for Computational Electromagnetics. Morgan & Claypool Publishers, 2007.
[2] S. D. Gedney and B. Zhao, An Auxiliary Differential Equation Formulation for the Complex-Frequency Shifted PML, IEEE Trans. on Antennas & Propagat., vol. 58, no. 3, 2010.
